KONCENTRACE ELEKTRONŮ A DĚR

Vztahy pro výpočet koncentrace elektronů a děr

Počet elektronů na jednotku objemu ve vodivostním pásu, ležících mezi energiemi E a E + dE, můžeme spočítat jako součin počtu dovolených stavů v tomto energetickém intervalu a pravděpodobnosti jejich obsazení elektronem, tedy f(E)g_C(E)dE. 

Chceme-li spočítat celkový počet elektronů ve vodivostním pásu, musíme tento vztah  integrovat přes všechny energie vodivostního pásu, tedy od dna vodivostního pásu E_C až po jeho strop E_strop 

( 2-5 ) 

Podobný vztah můžeme napsat i pro celkový počet děr ve valenčním pásu, integrujeme-li od dna valenčního pásu  E_dno do jeho stropu E_V.

( 2-6 )

Po integraci a dalších úpravách dostaneme důležité vztahy pro výpočet koncentrace elektronů a děr,

( 2-9 )

kde     
             N_C je efektivní hustota stavů ve vodivostním pásu,
                N_V je efektivní hustota stavů ve valenčním pásu.

( 2-10 )

( 2-11 )

Vztahy ( 2-9 ) však nejsou příliš pohodlné pro běžné výpočty. Protože už víme, že Fermiho hladina u vlastního  polovodiče leží ve středu zakázaného pásu (E_F = E_i) a dále pro vlastní polovodič platí n = p = n_i, můžeme vztahy 
( 2-9 ) dále zjednodušit -> (Po dosazení ze vztahu ( 2-12 ) do původních vztahů ( 2-9 ))

Pak získáme velmi důležité vztahy:

( 2-14 )

Stejně jako rovnice ( 2-12 ) platí rovnice ( 2-14 ) pro libovolný polovodič
za rovnovážných podmínek.

Nyní si už můžeme odvodit vztah pro podmínku tepelné rovnováhy. Vynásobíme-li rovnice ( 2-14 ), dostáváme vztah:

( 2-15 )

Vynásobením rovnic ( 2-9 ) můžeme vypočítat hodnotu intrinzické koncentrace n_i:

( 2-16 )

a po odmocnění

( 2-17 )

Z rovnice ( 2-17 ) je zřejmé, že intrinzická koncentrace n_i s rostoucí teplotou exponenciálně vzrůstá. Při pokojové teplotě (300 K) je pro křemík n_i přibližně rovno 1,45.10¹⁰ cm^-3 (= 1,45.10¹⁶ m^-3).

Nábojová neutralita

Další důležitou vlastností polovodičů je zachovávat za rovnovážných podmínek nábojovou neutralitu. 

Předpokládejme stejnoměrně dotovaný polovodič s konstantním počtem atomů dopantů v celém objemu. Za rovnovážných  podmínek musí být takovýto polovodič nábojově neutrální, součet všech nábojů v jeho objemu musí být roven nule. 

Předpokládáme-li dále, že všechny příměsi jsou ionizované a uvědomíme-li si, že náboj ionizovaných donorů je kladný a náboj ionizovaných akceptorů záporný, pak musí platit:

( 2-18 )

nebo

( 2-19 )

Vztah ( 2-19 ) nám umožňuje provádět další výpočty koncentrace nosičů pro vlastní i nevlastní polovodič.

Vlastní polovodič

Vlastní polovodič neobsahuje žádné příměsi a proto N_D = 0, N_A = 0. Platí proto

( 2-20 )

Z podmínky nábojové neutrality jsme tedy dostali stejné výsledky, které jsme na základě našich předchozích úvah  pro vlastní polovodič předpokládali.

Nevlastní polovodič

Předpokládejme nyní nedegenerovaný polovodič typu N s plně ionizovanými příměsemi. Reálný polovodič typu  N obsahuje vždy určité množství akceptorových příměsí (takový polovodič je nazýván kompenzovaný polovodič), ale platí pro něj N_D >> N_A nebo  N_D - N_A = N_D. Z podmínky nábojové neutrality plyne

( 2-21 )

a z podmínky tepelné rovnováhy ( 2-15 ):

( 2-22 )

Po dosazení vztahu ( 2-22 ) do ( 2-21 ) dostaneme:

( 2-23 )

což je kvadratická rovnice s neznámou n, jejíž řešení je

( 2-24 )

Odtud můžeme pro daný polovodič a teplotu spočítat koncentraci elektronů n a z ( 2-22 ) pak koncentraci děr polovodiče.  

Pro většinu běžných výpočtů nám však postačí následující úvaha:

Při pokojové teplotě je pro křemík n_i asi 10¹⁰ cm³  Koncentrace dopantů bývá nejméně 10¹⁴ cm^-3, tedy N_D >> n_i. Z ( 2-24 ) potom plyne n = N_D a p= n_i²/N_D. Analogickou úvahu můžeme provést i pro polovodič typu P. Shrneme-li tyto výsledky, pak pro  nedegenerovaný polovodič typu N s plně ionizovanými příměsemi a při splnění podmínek 
N_D >> N_A a  N_D >> n_i platí:

( 2-25 a,b)

a pro nedegenerovaný polovodič typu P s plně ionizovanými příměsemi a při splnění podmínek N_A >> N_D  a N_A >> n_i 

( 2-26 a,b)

Při vzrůstající teplotě se intrinzická koncentrace n_i zvětšuje viz ( 2-17 ) a obr. 2-12 ) a při dostatečně vysoké  teplotě může dokonce přesáhnout koncentraci příměsí N_A nebo N_D.

Jestliže bude teplota dále vzrůstat, n_i >> N_D a z rovnice ( 2-24 ) vyplyne, že n=n_i. Z ( 2-25 b) potom dostaneme také p = n_i. Při dostatečně vysokých teplotách se každý  polovodič stává vlastním polovodičem (viz také obr. 2-6 ).

Obr. 2-12 Teplotní závislost intrinzické koncentrace nosičů n_i [cm^-3] pro GaAs, Si, Ge 

[ MENU | LITERATURA | SYMBOLY]