FERMIHO HLADINA

Výpočet polohy Fermiho hladiny

Z obr. 2-11 a ze vztahů ( 2-9 ) nebo ( 2-14 ) je zřejmá závislost koncentrace nosičů na poloze Fermiho hladiny. Jestliže za rovnovážných podmínek známe n nebo p, můžeme vypočítat E_F nebo naopak.

Vlastní polovodič

Protože pro vlastní polovodič platí n = p, pak ze vztahů ( 2-9 ) plyne

( 2-27 )

Řešením této rovnice pro E_F a dosazením za N_V, a N_C z ( 2-10 ) ( 2-11 ) dostaneme

( 2-28 )

Protože efektivní hmotnost elektronů a děr není při teplotách větších než 0 K stejná, můžeme vypočítat, že Fermiho hladina se s teplotou posunuje v zakázaném pásu nahoru a leží asi 0,012 eV nad středem zakázaného pásu při teplotě  300 K. Pro běžné výpočty však můžeme tuto odchylku zanedbat.

Nevlastní polovodič

Pro nevlastní polovodič typu N platí přibližně n = N_D a po dosazení do ( 2-14 )

( 2-29 )

Odtud plyne

( 2-30 )

Analogicky pro polovodič typu P dostaneme

.

( 2-31 )

Z rovnic ( 2-30 ) a ( 2-31 ) vyplývá, že Fermiho energie je závislá na koncentraci příměsí v nevlastním polovodiči a na teplotě. Fermiho hladina se posunuje se vzrůs­tající teplotou i se vzrůstající koncentrací příměsí nahoru v polovodiči typu N a dolů v polovodiči typu P. Tato závislost je schématicky naznačena na obr. 2-13 . Jest­liže se Fermiho hladina přiblíží k E_C, nebo E_V, na méně než 3 kT, dostaneme degenerovaný nebo vysoce dotovaný polovodič, který označujeme jako N⁺ nebo P⁺ materiál. Maximální koncentrace příměsí pro nedegenerovaný polovodič jsou při 300 K pro Si N_D = 1,6.10¹⁸ cm^-3 a N_A = 7,7.10¹⁷ cm^-3.

Obr. 2-13 a) Poloha Fermiho hladiny v Si v závislosti na koncentraci příměsí. V označeném bodě je nakreslena b) závislost polohy Fermiho hladiny na teplotě, teploty T₁ a T₂ jsou aktivační teploty.  Poloha Fermiho hladiny v intrinzickém polovodiči je označena E_i. Se stoupající teplotou se také zužuje šířka zakázaného pásu se strmostí řádu10^-4 eV K^-1

[Ukázka (zdroj)]

Obr. 2-14 Vzájemná kompenzace akceptorů a donorů v polovodiči.

Slabě kompenzovaný polovodič

Pro koncentrace nosičů náboje je opět podstatná poloha Fermiho hladiny. Tu je možno určit  z podmínky elektrické neutrality krystalu. Součet koncentrace elektronů ve vodivostním pásu a  koncentrace ionizovaných akceptorů N_A⁺ musí být roven součtu koncentrace děr ve valenčním pásu.a koncentrace ionizovaných donorů N_D⁺:

( 2-32 )

 nebo

( 2-33 )

Bereme-li v úvahu obsazení příměsových hladin.pak dostaneme vztah: .

( 2-34 )

( 2-34 )

Dále se omezíme na případy, kdy:

( 2-35 )

Pokud jsou v polovodiči přítomny oba typy příměsí, dochází k jejich vzájemné kompenzaci. Zde je možno rozlišit dvě úrovně kompenzace - slabou a silnou.

Slabě kompenzovaný polovodič je charakterizován podmínkou:

( 2-36 )

Při určování polohy. Fermiho hladiny se používají různé formy aproximace ve čtyřech teplotních  oblastech.

Obr. 2-15 Závislost Fermiho hladiny na teplotě pro slabě kompenzovaný polovodič.

I. Při nízkých teplotách dochází pouze ke slabé ionizaci příměsí. Můžeme tedy předpokládat, že:

( 2-37 )

Rovnice ( 2-34 ) přejde na tvar:

( 2-38 )

a pro Fermiho hladinu bude platit:

( 2-39 )

II. Při mírně vyšších teplotách bude splněna podmínka:

( 2-40 )

Potom platí:

( 2-41 )

Fermiho hladinu určíme ze vztahu:

( 2-42 )

III. V oblasti teplot, kde platí:

( 2-43 )

Dochází k úplné ionizaci příměsí a pro koncentraci elektronů tedy platí:

( 2-44 )

Pro N_D - N_A >> n_i

( 2-45 )

IV. V oblasti vysokých teplot již převažuje mezipásová generace nosičů a intrinzická koncentrace převyšuje koncentraci příměsí. Jedná se o oblast vlastní vodivosti, kdy Fermiho hladina splyne s intrinsickou hladinou 
( obr. 2-15 ):

( 2-46 )

Silně kompenzovaný polovodič

Obr. 2-16 Závislost polohy Fermiho hladiny na teplotě pro silně kompenzovaný polovodič

V silně kompenzovaném polovodiči (obr. 2-16 ), který je charakterizován podmínkou:

( 2-47 )

není možno splnit podmínky pro teplotní oblast II. a oblast I. tedy přímo přechází do oblasti I

Nekompenzovaný polovodič

Obr. 2-17 Závislost polohy Fermiho hladiny na teplotě pro nekompenzovaný polovodič.

V případě nekompenzovaného polovodiče typu N musí platit:

( 2-48 )

a tedy :

( 2-49 )

Pro nízké teploty, je možno vzhledem k slabé ionizaci příměsí předpokládat, že:

( 2-50 )

 a tedy

( 2-51 )

Fermiho hladina je pak určena vztahem

( 2-52 )

Při vyšších teplotách, kdy je ionizace úplná, platí (obr. 2-17 ) :

( 2-53 )

Poloze Fermiho hladiny odpovídá koncentrace nosičů náboje. Na obr. 2-18 je teplotní závislost  koncentrace elektronů v křemíku s dotací N_D = 5. 10^-14 cm^-3.

Obr. 2-18 Závislost koncentrace elektronů Si na teplotě. N_D=5.10¹⁴ cm^-3 

[ MENU | LITERATURA | SYMBOLY]